Полное Пи!

…рассмотрении и изучении, имеет свою историю, очень много значит для математиков — они без нее просто никуда, и даже имеет свой праздник?

Неофициальный праздник «День числа Пи» (англ. Pi Day) отмечается 14 марта, которое в американском формате дат записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа Пи. Ещё одной датой, связанной с числом Пи, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа Пи.

В погоне за бесконечностью

Число Пи — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. Впервые обозначением этого числа греческой буквой Пи воспользовался британский математик Уильям Джонс (1706), а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов Пεριφέρεια — окружность, периферия и Пερίμετρος — периметр.

В конце XVIII века И. Ламберт и А. Лежандр установили, что Пи — иррациональное число, а в 1882 году Ф. Лидерман доказал, что оно трансцендентное, т.е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

На протяжении всего существования числа Пи, вплоть до наших дней, велась своеобразная «погоня» за его десятичными знаками. Леонардо Фибоначчи около 1220 года определил три первых точных десятичных знаков числа Пи. В XVI веке Андриан Антонис определил 6 таких знаков. Франсуа Виет, вычисляя периметры вписанного и описанного 322 216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков. Андриан Ван Ромен таким же способом получил 15 десятичных знаков, вычисляя периметры 1 073 741 824-угольников. Лудольф Ван Кёлен, вычисляя периметры 32 512 254 720-угольников, получил 20 точных десятичных знаков. Авраам Шарп получил 72 точных десятичных знаков числа Пи. В 1844 году З. Дазе вычисляет 200 знаков после запятой, в 1847 году Т. Клаузен получает 248 знаков, в 1853 г. Рихтер вычисляет 330 знаков, в том же 1853 году 440 знаков получает З. Дазе, и в этом же году У. Шенкс получает 513 знаков.

С появлением компьютеров темпы возросли:

1949 год — 2 037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, ENIAC),
1958 год — 10 000 десятичных знаков (Ф.Женюи, IBM—704),
1961 год — 100 000 десятичных знаков (Д.Шенкс, IBM—7090),
1973 год — 10 000 000 десятичных знаков (Ж.Гийу, М.Буйе, CDC—7600),
1986 год — 29 360 000 десятичных знаков (Д.Бейли, Cray—2),
1987 год — 134 217 000 десятичных знаков (Т.Канада, NEC SX2),
1989 год — 1 011 196 691 десятичных знаков (Д.Чудновски и Г.Чудновски, Cray-2+IBM-3040). Они же добились в 1991 году 2 260 000 000 знаков, а в 1994 году — 4 044 000 000 знаков.

Дальнейшие рекорды принадлежат японцу Тамуре Канада: в 1995 году 4 294 967 286 знаков, в 1997 — 51 539 600 000, и, последний на сегодня рекорд 206 158 430 000 знаков. Суперкомпьютер (проект HINTS — High-performance Numerical Tools & Software для сверхмощных научных и инженерных вычислений) в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минуту 4 секунды используя 865 Гигабайт оперативной памяти для основной задачи и 46 часов и 816 Гигабайт — для вспомогательной оптимизации вычислений.

Тренировка для мозгов

Представьте себе, что это число не менее интересно запоминать, чем вычислять. И интерес для запоминания представляет именно хаотическое сплетение цифр после запятой, не поддающееся никаким видимым закономерностям, т.е. попросту говоря, не имея системы в записи, число не поддается запоминанию обычным человеком. Сейчас существует даже своеобразное соревнование среди мнемонистов: кто запомнит большее количество знаков после запятой. Эти рекорды записываются в Книгу рекордов Гиннесса.

Для чего же запоминают такое количество цифр? Для тренировки. Во-первых, при этом оттачиваются зрительные образы, которыми обозначаются двузначные числа (их всего сто) или трехзначные числа (этих образных кодов 1000). Во-вторых, отрабатывается основная операция запоминания — соединение зрительных образов в воображении. Чтобы запомнить несколько тысяч цифр, нужно образовать соответствующее количество связей между образами. В-третьих, человек закрепляет в своей памяти большое количество вспомогательных образов, которые в разных системах называются по-разному — локи, опорные образы, стимулирующие образы, вешалки и т.д. И в-четвертых, вырабатываются различные способы фиксации последовательности образов.

Как же, собственно, запоминать сами числа? Очень просто, как обычно. Разбейте цифровой ряд на двузначные числа, преобразовывайте двузначные числа в образные коды и последовательно связывайте с подготовленными опорными образами. Например, 14-15-92-65-35-89-79-32-38-46-26-43-38-32-79… нужно представить в виде: жучок-губы-радио-лупа-куб-фара-сыр-кит-хвоя-чашка-душ-очки-... Первую цифру — 3 — можно не запоминать, как-нибудь вспомните...

Тем не менее, даже если вы не хотите изнурять себя такими непосильными тренировками, иногда значение числа Пи требуется вспомнить для работы. Как же быть? Для таких случаев существуют техники запоминания попроще. Например, придумано множество мнемонических способов для запоминания нескольких первые цифр значения числа Пи в стихотворной форме:

Чтоб запомнить цифры эти,
Нужно правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

В следующем стихе упоминается большее число знаков.

Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.

Есть более сложные и интересные мнемонические тексты-стишки, число букв в словах которых является значением цифр для запоминания числа Пи.

Учи и знай в числе известном
За цифрой цифру без ошибки.

Или — для «продвинутых» математиков:

Раз у Коли и Арины
Распороли мы перины.
Белый пух летал, кружился,
Куражился, замирал,
Ублажился… Нам же дал
Головную боль старух,
— Ух, опасен пуха дух.

А мировой рекорд по запоминанию знаков после запятой числа Пи принадлежит японцу Акире Харагучи — до 100-тысячного знака после запятой. Причем для того, чтобы назвать все число целиком, ему понадобилось почти 16 часов.

Что же в нем интересного?

Почти сразу математики уяснили для себя, что количество знаков после запятой у числа Пи стремится к бесконечности. Последовательность цифр в числе Пи, издавна волнующая умы математиков своей непредсказуемостью, действительно случайна. На сегодняшний день число Пи известно с точностью до 500 млрд. знаков, в которых так и не найдены какие-либо повторения. И, если верить работе американского физика Дэвида Бейли и канадских математиков Питера Борвина и Саймона Плофе, таких повторений найдено никогда и не будет.

Доказали они это просто: составили компьютерную программу, которая вычисляет любой знак в числе Пи, почти ничего не зная... о знаках предыдущих. Отличительная особенность алгоритма - то, что он работает не целиком с числом, а с его фрагментами. То есть ученые взяли числа 0.314; 0.141; 0.415; 0.159 и т.д. Все они составлены из трех последовательных цифр числа «пи». Если цифры «пи» случайны, то все эти числа должны быть случайно распределены между 0 и 1. Правда, ученые работали не с десятичной, а с двоичной записью числа "пи", то есть с последовательностями из нулей и единиц.

Достижение, считавшееся до сих пор невозможным, стало реальностью благодаря применению теории хаоса: в ней существует предположение, что в нормальных числах одни числовые последовательности неким образом зависят от соседних с ними чисел. В свою очередь, нормальными числовыми последовательностями математики называют такие последовательности, в которых числа одинаковой длины встречаются одинаковое число раз (к примеру, 123 встречается столько же раз, сколько 234 — т.е. последовательность чисел случайна). В Пи — судя по анализу вычисленных знаков — это правило соблюдается. Однако строго доказать, что число Пи — нормальное, никому не удавалось до трех вышеназванных исследователей, которые показали, что числа в Пи подчиняются теории хаоса, а значит, случайны.

Важность этого доказательства не так мала, как кажется непосвященным. Это важное научное достижение, на котором могут быть основаны такие чисто практические вещи, как, к примеру, криптография, создание невзламываемых шифров и генератора случайных чисел.

Думаете, то, что порядок цифр в значении числа Пи непредсказуем, успокоило математические умы? Нет. Они стали выискивать всякие закономерности в расположении этих знаков. Что с математиков возьмешь? Ну, любят они искать порядок в беспорядке. И обнаружили много интересного. Например, оказалось, что в цифрах числа Пи можно найти любую наперед заданную последовательность цифр! И любая последовательность цифр одинаковой длины встречается в нем с одинаковой частотой.

Например, самые распространенные расстановки встретились в следующих по счету цифрах:

01234567891 — с 26, 245, 852, 899,
01234567891 — с 41, 161, 536, 952,
01234567891 — с 99, 972, 955, 571
01234567891 — с 102, 081, 851, 717
01234567891 — с 171, 257, 652, 369
01234567890 — с 53, 217, 681, 704
01234567890 — с 148, 425, 641, 592
432109876543 — с 149, 589, 314, 822
543210987654 — с 197, 954, 994, 289

Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков Пи свой телефон или дату рождения. Это очень приятный способ отметить такой необычный праздник.

Пи — религия

Да что там номера телефонов! Очень много было в научной печати рассуждений о том, что в числе Пи закодированы любые существующие книги, в том числе и Ветхий Завет. И вдруг мир облетела новость, что в Торе присутствует число Пи с точностью до пятого знака после запятой! Раньше в славянских языках буквы использовались в качестве цифр. В иврите буквы используют как цифры и числа и по сегодняшний день, параллельно с привычной нам арабской символикой. Более того, часто подсчет числового значения слов используется при исследовании Торы, это так называемая гематрия.

Но Торой мировое значение этого числа не заканчивается. Зарождение органической Жизни и ее существование возможны только в мерности, равной числу Пи, то есть в трехмерном пространстве. Если органическая жизнь зарождается при значении Пи, приблизительно равном числу 3, то уровень возникновения Сознания в нашем мире, на Земле определяется Пи + 0,1 (то есть при значении, равном 3,1). Наличие мерности Земли в пределах 3,00017 говорит о том, что Человечество до обретения Сознания, мягко говоря, не дотягивает. Надо помнить, что проявление Бытия не ограничивается данным диапазоном. Он является стартом, отправной точкой для непрерывного расширения Сознания, для образования различных уровней существования органической Жизни во Вселенной.

Каждому уровню соответствует свой диапазон Сознания. Отсюда изменяется, растет мерность пространства. Например, в Мире Бога мерность пространства и Сознания составляет от 4 до 4,5. Мерность Сознания самого Бога составляет около 5,5 единиц, и она не стоит на месте, поскольку Эволюция не дает засиживаться и Ему. Растет Его мерность, возрастает мерность всей Его (и нашей тоже) Вселенной, а значит, и все ее население обязано повышать свою мерность, шагать в ногу с Богом! В статье Герасима Андреева «Фи-треугольник — геометрия мироздания и инструмент познания» самым неожиданным образом связываются числа Пи и Фи (золотое сечение) с пирамидой Хеопса, Ветхозаветным Енохом как носителем магической цифры семь, построением семиугольника и прочими эзотерическими изысками.

В общем, отметить этот день, как видите, можно даже очень приятно и необычно. А для тех, кто не смог его отпраздновать, есть еще День приближенного Пи, 22 июля. Не прозевайте.